Γραμμικές διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης

Abstract

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους ανωτέρας τάξεως της άγνωστης συνάρτησης εμφανίζονται συχνά σε προβλήματα τα οποία ανακύπτουν στις θετικές και τεχνολογικές επιστήμες. Ο κύριος σκοπός του κεφαλαίου είναι η διατύπωση ορισμένων βασικών μεθόδων για την επίλυση γραμμικών εξισώσεων ανώτερης τάξης. Αρχικά εξετάζεται η ύπαρξη και η μοναδικότητα των λύσεων και στη συνέχεια διατυπώνονται γενικές αρχές και ειδικές τεχνικές για τον υπολογισμό των λύσεων. Η πλέον θεμελιώδης και σημαντική τεχνική είναι εκείνη η οποία εφαρμόζεται για τη λύση ομογενών γραμμικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές. Η βασική διαδικασία για την επίλυση μη ομογενών εξισώσεων αναπτύσσεται στη συνέχεια. Επιπρόσθετα, διατυπώνονται τεχνικές επίλυσης για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις ανωτέρας τάξεως με μεταβλητούς συντελεστές. Το κεφάλαιο τελειώνει με την επεξεργασία ορισμένων αντιπροσωπευτικών εφαρμογών.

Ordinary Differential Equations (ODEs) that involve higher-order derivatives of the unknown function often appear in problems arising in the physical and technological sciences. The main purpose of this chapter is to formulate fundamental methods for solving linear higher-order differential equations. Initially, the existence and uniqueness of solutions are examined, followed by the formulation of general principles and specific techniques for computing solutions. The most fundamental and significant technique applies to solving homogeneous linear equations with constant coefficients. The basic process for solving non-homogeneous equations is then developed. Additionally, solution techniques are formulated for linear differential equations of higher order with variable coefficients. The chapter concludes with the treatment of some representative applications.