Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις

Abstract

Το βασικό χαρακτηριστικό των Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων (ΜΔΕ) εδράζεται στο γεγονός ότι οι λύσεις τους μπορούν να είναι συναρτήσεις πολλών μεταβλητών, και κατά συνέπεια μπορούν να περιγράφουν φαινόμενα του πραγματικού κόσμου, όπου τα μεγέθη εξαρτώνται συνήθως από τις τρεις χωρικές διαστάσεις συν τον χρόνο. Σε αρχικό επίπεδο, οι ΜΔΕ ταξινομούνται σε τρεις μεγάλες κατηγορίες με βάση την εξάρτηση των λύσεών τους από τον χρόνο. Έτσι έχουμε τις εξισώσεις ελλειπτικού τύπου, οι λύσεις των οποίων είναι ανεξάρτητες του χρόνου, τις εξισώσεις παραβολικού τύπου, με λύσεις εξαρτώμενες μη αντιστρεπτά στον χρόνο, και τις εξισώσεις υπερβολικού τύπου, στις οποίες η χρονική εξάρτηση των λύσεων είναι χρονικά αντιστρεπτή. Οι βασικές φυσικές διαδικασίες που περιγράφουν αυτοί οι τρεις τύποι εξισώσεων είναι κατά σειρά οι θεωρίες δυναμικού (ελλειπτικός τύπος), οι διαδικασίες διάχυσης (παραβολικός τύπος) και τα φαινόμενα ταλαντώσεων και κυματικής διάδοσης (υπερβολικός τύπος). Το παρόν σύγγραμμα εστιάζεται στις μεθόδους επίλυσης των τριών αυτών τύπων ΜΔΕ σε διάφορα γεωμετρικά περιβάλλοντα, όπως είναι η γεωμετρία που επιβάλλει το καρτεσιανό, το κυλινδρικό, το σφαιρικό αλλά και το πολικό σύστημα συντεταγμένων. Σε περίπτωση πιο πολύπλοκης γεωμετρικής δομής περιγράφονται οι μέθοδοι επίλυσης που βασίζονται στις συναρτήσεις Green και στις ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις που δημιουργούν. Η κεντρική μέθοδος είναι αυτή των ιδιοσυναρτήσεων και των αντίστοιχων ιδιοαναπτυγμάτων. Πέρα από τις κλασικές φασματικές μεθόδους, ο αναγνώστης μπορεί επίσης να βρει εισαγωγικές αναλύσεις σε εξισώσεις πρώτης τάξης με τη μέθοδο των χαρακτηριστικών, σε ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς, στη μέθοδο της αντιστροφής Kelvin, καθώς και σε θέματα που αφορούν την ενεργειακή συμπεριφορά των φαινομένων. Τέλος, έχει γίνει προσπάθεια, οι διάφορες μαθηματικές τεχνικές να συνοδεύονται και από τη φυσική σημασία των φαινομένων που περιγράφουν οι αντίστοιχες εξισώσεις.

The basic characteristic of the Partial Differential Equations (PDEs) is due to the fact that their solutions can be functions of many variables, which they can be used to describe real life phenomena, where the involved quantities are usually depended on the three special dimensions plus the time. At a first level of investigation, the PDEs are classified in three major categories based on the dependence of their solutions on time. That gives us the elliptic equations, with solutions independent of time, the parabolic equations, with solutions depending irreversibly on time, and the hyperbolic equations, with solutions that depend reversibly on time. The basic physical phenomena, described by these three types of equations, are the theories of potentials (elliptic equations), the diffusion processes (parabolic equations) and the theories of vibrations and wave propagation (hyperbolic equations). The present book is focused on the methods of solutions of these three types of PDEs in different geometrical domains, such as the geometry described by the cartesian, the cylindrical, the spherical and the polar coordinate systems. For domains with not so simple geometries the solutions demand more sophisticated techniques such as the Green’s functions and the construction of integral representations, and these techniques are analytically contained in separate chapters. In any case the book is built around the spectral theory of eigensolutions and the related eigenexpansions. Besides the classical spectral methods, the reader can also find introductory analyses for first order equation via the method of characteristics, for integral transforms, for the Kelvin inversion method as well as for energy topics associated with physical problems. Finally, the book is written in such a way that emphasizes the connection between the mathematical methods of producing solutions and their physical interpretation.