Ολοκληρώσιμα χαμιλτονιανά συστήματα

Abstract

Η κλασική μηχανική ξεκινάει από τη Νευτώνεια Μηχανική και συνεχίζει με την Αναλυτική Μηχανική, δηλαδή τη Μηχανική Lagrange, η οποία μας επέτρεψε να μελετήσουμε τα διάφορα μηχανικά προβλήματα με έναν πιο γενικό τρόπο σε σχέση με τη Νευτώνεια Μηχανική. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι οι εξισώσεις του Lagrange έχουν την ίδια μορφή σε οποιοδήποτε σύστημα γενικευμένων συντεταγμένων, σε αντίθεση με τις εξισώσεις του Νεύτωνα, οι οποίες, παρόλο που περιγράφουν τον νόμο του Νεύτωνα στα αδρανειακά συστήματα, έχουν διαφορετική μορφή σε διαφορετικά συστήματα συντεταγμένων. Επίσης, η Αναλυτική Μηχανική οδηγεί σε μια πολύ πιο απλή επίλυση των προβλημάτων, αφού στις εξισώσεις του Lagrange δεν εμφανίζονται οι αντιδράσεις των δεσμών οι οποίες είναι άγνωστες. Η Μηχανική Hamilton απλοποίησε κατά πολύ τη μελέτη της μηχανικής, γιατί οι εξισώσεις Hamilton είναι πρώτης τάξης, ενώ οι εξισώσεις του Νεύτωνα και του Lagrange είναι δεύτερης τάξης, ενώ μας επέτρεψε να μελετήσουμε και άλλα προβλήματα πέρα από την κλασική μηχανική. Ένα άλλο προτέρημα της Μηχανικής Hamilton είναι ότι μας επιτρέπει με συστηματικό τρόπο να αλλάζουμε μεταβλητές και να δημιουργούμε αγνοήσιμες συντεταγμένες και άρα να χρησιμοποιούμε τα ολοκληρώματα της κίνησης για να επιλύουμε τα ολοκληρώσιμα συστήματα. Στο παρόν κεφάλαιο, θα μελετήσουμε βασικές έννοιες της Μηχανικής Hamilton, τους κανονικούς μετασχηματισμούς και τα ολοκληρώσιμα χαμιλτονιανά συστήματα.

Classical mechanics starts from Newtonian Mechanics and continues with Analytical Mechanics, i.e., Lagrange, and Hamiltonian Mechanics. Hamiltonian Mechanics greatly simplified the study of mechanical systems because Hamilton's equations are first order. In contrast, Newton's and Lagrange's equations are second-order, allowing us to study problems beyond classical mechanics. Another advantage of Hamilton Mechanics is that it will enable us to systematically change variables, create ignorable coordinates, and thus use the integrals of motion to solve the integrated systems. In this chapter, we will study the basic concepts of Hamiltonian Mechanics, normal transformations and integrable Hamiltonian systems.