Ανιχνεύοντας το χάος

Abstract

Το κεφάλαιο επικεντρώνεται σε θεωρήματα που αποδεικνύουν την ύπαρξη χαοτικής συμπεριφοράς σε κάποια συστήματα ή δίνουν δείκτες που αποδεικνύουν την εκθετική απομάκρυνση, η οποία είναι μία από τις ιδιότητες του χάους (η ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες). Το πρώτο θεώρημα που αποδεικνύει την ύπαρξη χαοτικής συμπεριφοράς είναι το θεώρημα του Melnikov. Είναι μια αναλυτική μέθοδος και ισχύει για διαταραγμένα συστήματα δύο διαστάσεων στα οποία η διαταραχή εξαρτάται περιοδικά από τον χρόνο. Στη συνέχεια, θα αναπτύξουμε τους εκθέτες Lyapunov. Πρόκειται για μια αριθμητική μέθοδο που μας δείχνει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος. Θα κλείσουμε το κεφάλαιο με τη μέθοδο του Μικρότερου Δείκτη Ευθυγράμμισης (SALI) και τη μέθοδο του Γενικευμένου Δείκτη Ευθυγράμμισης (GALI). Πρόκειται για αριθμητικές μεθόδους που δείχνουν αν οι τροχιές είναι κανονικές ή χαοτικές, δηλαδή αν έχουμε εκθετική απομάκρυνση.

The chapter focuses on theorems that prove the existence of chaotic behaviour in some systems or give indices that prove exponential decay, which is one of the properties of chaos (the sensitive dependence on initial conditions). Melnikov's theorem is the first theorem that proves the existence of chaotic behaviour. It is an analytical method and applies to perturbed two-dimensional systems in which the perturbation depends periodically on time. Next, we will develop Lyapunov exponents. It is a numerical method that shows us the system's dynamic behaviour. We will close the chapter with the Smallest Alignment Index (SALI) and Generalized Alignment Index (GALI) methods. These numerical methods show whether the trajectories are regular or chaotic.