Διανυσματική ανάλυση

Abstract

Το θέμα του βιβλίου είναι η ανάπτυξη της κλασικής θεωρίας της Μαθηματικής Ανάλυσης αναφορικά με πραγματικές και διανυσματικές συναρτήσεις πολλών πραγματικών μεταβλητών. <br/><br/>Στόχος του είναι η εισαγωγή και αυστηρή μαθηματική θεμελίωση των σχετικών κλασικών εννοιών, δηλαδή η συνέχεια και η διαφορισιμότητα συναρτήσεων περισσότερων μεταβλητών, ο ορισμός του πολλαπλού ολοκληρώματος κατά Riemann, των επικαμπυλίων και επιφανειακών ολοκληρωμάτων βαθμωτών και διανυσματικών συναρτήσεων, και η απόδειξη των κλασικών θεωρημάτων του ολοκληρωτικού λογισμού πολλών μεταβλητών, δηλαδή των Θεωρημάτων Green, Stokes, Gauss.<br/><br/>Το κοινό που απευθύνεται είναι κυρίως οι φοιτητές Μαθηματικών, αλλά φιλοδοξεί να αποτελέσει και ένα έργο αναφοράς σχετικά με τα θέματα που πραγματεύεται για όποιον άλλο ενδιαφερόμενο, Μαθηματικό ή Φυσικό Επιστήμονα ή Μηχανικό, φοιτητή, διδάσκοντα ή ερευνητή. <br/><br/>Η ύλη του εντάσσεται στην υποχρεωτική ύλη για φοιτητές τμημάτων μαθηματικών, σχολών φυσικών επιστημών και πολυτεχνικών σχολών, και έχει ως προαπαιτούμενο τη γνώση της σχετικής θεωρίας αναφορικά με πραγματικές συναρτήσεις μίας πραγματικής μεταβλητής, <br/>ενώ αποτελεί τη βάση για μαθήματα Διαφορικής Γεωμετρίας, Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, αλλά και της πλειοψηφίας των θεωρητικών μαθημάτων των Φυσικών ή Μηχανικών Επιστημών.<br/><br/>Το βιβλίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως έργο παραπομπής για πιο θεωρητικά θέματα, και άρα μπορεί να χρησιμεύσει και για τη διδασκαλία σε πιο εφαρμοσμένο επίπεδο η οποία θα επικεντρώνεται περισσότερο σε θέματα εφαρμογής και ερμηνείας από γεωμετρική και φυσική άποψη των σχετικών εννοιών και θεωρημάτων με πληθώρα παραδειγμάτων, ασκήσεων και εφαρμογών.

The topic of the book is the development of classical theory in Mathematical Analysis concerning real and vector functions of several real variables. Its aim is to introduce and rigorously mathematically establish the relevant classical concepts, namely the continuity and differentiability of functions of multiple variables, the definition of the multiple integral according to Riemann, line and surface integrals of scalar and vector functions, and the proof of the classical theorems of multivariable integral calculus, specifically Green's, Stokes', and Gauss' theorems. The intended audience is primarily Mathematics students, but it also aspires to serve as a reference work on the discussed topics for any other interested party, be they Mathematicians, Physical Scientists, or Engineers, whether they are students, instructors, or researchers. The material is part of the mandatory curriculum for students in mathematics departments, schools of physical sciences, and engineering schools, and it presupposes knowledge of the related theory concerning real functions of a single real variable. It also forms the basis for courses in Differential Geometry, Partial Differential Equations, and Applied Mathematics, as well as the majority of theoretical courses in Physical or Engineering Sciences. The book can also be used as a reference work for more theoretical topics, and thus it can be useful for teaching at a more applied level, focusing more on application and interpretation of the relevant concepts and theorems from a geometric and physical perspective with numerous examples, exercises, and applications.