Το σώμα των Πραγματικών και το σώμα των Μιγαδικών αριθμών

Abstract

Στο έβδομο κεφάλαιο γίνεται η θεμελίωση των πραγματικών αριθμών. Υπάρχουν πολλοί τρόποι ορισμού των πραγματικών αριθμών. Εδώ προτιμούμε έναν τρόπο, ο οποίος «ρέει φυσιολογικότερα». Συγκεκριμένα, επεκτείνουμε τους ρητούς αριθμούς στους πραγματικούς αριθμούς. Αυτό επιτυγχάνεται με τη χρήση των τομών Dedekind. Επισημαίνουμε τη θεμελιώδη διαφορά ρητών και πραγματικών αριθμών (αρχή της πληρότητας). Στο δεύτερο μέρος του κεφαλαίου ορίζεται το σώμα των μιγαδικών αριθμών. Παρουσιάζεται η γεωμετρική αναπαράσταση των μιγαδικών αριθμών με καρτεσιανές και με πολικές συντεταγμένες και μελετώνται οι 𝑛-οστές ρίζες της μονάδας. Στο τέλος παρατίθεται η έκφραση των μιγαδικών αριθμών σε εκθετική μορφή.

In the seventh chapter, the real numbers are introduced. There are many ways to define real numbers. Here we prefer a way that "flows more naturally". Specifically, the rational numbers are extended to the real numbers. This is achieved using the Dedekind cuts. We point out the fundamental difference between rational and real numbers (the completeness principle). In the second part of the chapter, the field of complex numbers is defined. The geometric representation of the complex numbers with Cartesian and polar coordinates is presented and the roots of the unity are studied. Finally, the expression of complex numbers in exponential form is presented.